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中华数学的演进  

2010-08-06 10:21:51|  分类: 数学库 |  标签: |举报 |字号 订阅

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  中华数学的演进

相传,在非常遥远的古代,有一天,从黄河中忽然跳出一匹“龙马”,马背上驮着一幅图,图上画着许多神秘的数学符号;后来,从奔腾的洛水中又爬出一只“神龟”来,龟背上驮着一卷书,书中写的是数的排列方法。

出现了“河图洛书”之后,数学也就诞生了。

这个神奇的传说有趣吗?不过,它只是个传说而已。

那么,数学是怎样产生的呢?远古时代人类以打猎、采野果为生。在狩猎中,他们发现只有人比兽多,才有可能对付那些猛兽;采果时,他们发现只有当野果堆得老高时,才有可能帮助他们度过漫长的冬天,这样的实践中,他们才逐步领悟了“多”与“少”的概念。

分配食物时,由于人们通常用一只手拿一件物品,这样就把“一”从“多”的概念中分离出来。有了“一”,人们又逐渐形成了“二”的概念,这可能是因为人的双手各拿一件物品吧!那怎样表示“三”呢?人们并没有三只手呀!后来人们用“巧妙”的办法:把第三件物品放在自己的脚边,这样问题不就解决了!

从一些出土的原始社会的文物中也可以看到一些与数目有关的内容,如陶器上有两只耳朵,三只脚等。

形成“一”、“二”、“三”这些数的概念经历了很长的时间。但那时人类还没有表示数的名称,他们表示数时,是靠手势和相应的身体动作。

怎样解决这个问题呢?请看看下节“最美妙的数学发明”。

最美妙的数学发明

远古的人类用手建立了“一”、“二”、“三”等数的概念。但是因为要用手去干别的活,不能老拿着物品记数呀,于是人们就变着法用别的物体来代替要记的事物,绳结呀,石子呀,都成了他们记数的工具。例如,打了两只羊,结两个绳结;采两堆野果摆两个小石子,等等。在他们打绳结,摆石子的时候,数学就发生了第一次抽象!可以说这是最美妙的数学发明。

随着生产的发展,人们感觉到摆石子,打绳结太麻烦,就去寻找更方便的方法来记数。后来人们用刻画符号来代替结绳,如在青海发现的带有刻口的骨片。我国的少数民族和汉族一样,在没有文字以前也都是采用结绳和刻划记数法。(云南澜沧拉枯族自治县的拉祜族人,直到1957年还用木刻记载家禽家畜的帐目呢!)这样就产生了最初的文字,产生了最初的数学符号。

随着生产的发展,人们创造出了愈来愈多的产品,因而需要发明更多的数字符号来记录。我国古时候的人在龟甲和兽骨上刻字,后人把它叫做甲骨文。

从朦胧的“多”和“少”的概念到最初的数学符号,可不是神灵展示的奇迹,而是原始人类极其艰辛的创造性劳动的产物。为了获得这些原始的数学的概念,人类至少经历了数万年的漫长岁月!

记数法是最美妙的数学发明,下节要讲的“十进位值制记数法和筹算”更是锦上添花!

十进位值制记数法和簿算

我国是世界上最早发明“十进位值制记数法”的国家。“位值制”是千百年来人类智慧的结晶,它使人们能用少数简单的记号代替复杂难记的符号,能用少数的记号表示全部的数,为进一步研究事物的数量关系创造了有利的条件。“十进位值制”更是精彩!它有两个特点:①十进制。即“逢十进一”,也就是说十个一记成十,十个十记成百等;②位值制,即一个数码表示什么数要由它所处的位置来决定。比如487,4在百位上,表示有4个百,8在十位上表示有8个十。

“十进位值制记数法”是当时世界上最先进的!

人类在长期的生产实践中发明了数字,发明了十进位值制记数系统,随之而来的必然有计算方法的发展。世界上最早的计算方法——筹算,也是我国古代人们发明的。中国人用算筹来记数,十进位值制就更加明确了。“筹”是一种小棍或其它材料制成的小棍,在没有发明纸张和珠算之前,它是我国古代的计算工具。

用算筹记数有纵横两种摆法:

记数时,顺序是从右到左,一纵一横,由小到大,遇有零数空着不放筹。如,423705,可以摆成如下样式:空格的地方表示零。我国古书上缺字都用“□”表示,数字间的空位,后来就用“□”表示了,在行书书写时,方块很容易划成圆圈,自然零号就记作“○”了。但中国○号的记法同阿拉伯数码的扁圆“0”是不同的。

算筹这些普通的小竹棍,在我们祖先手中像“魔棍”一样展示了我国具有独特风格的古代数学体系,同时也对我国古代数学的迅速发展产生了巨大而深远的影响。

分数的产生和分数运算

一个物体的一半如何表示?你肯定要用分数!可是你知道分数在我国是什么时候开始使用的吗?当时是怎样进行分数运算的呢?

至迟在春秋战国时代我国就已有了分数的概念。春秋战国时期,社会上思想活跃,生产范围有所扩大,技术水平也有所提高,实践中提出了许多新的数学问题。比如,一个物体的一半如何表示呢?这当然不能用自然数,这就要求创造新数来表示了。

在《墨子》书中记载的分数大都是由于分配而引起的。小半(表示),大半(表示 ),半(表示)是当时的分数专用名词。《管子》在讲土地种植的分配时又提出“十分之二”、“十分之四”、“十分之五”、“十分之六”、“十分之七”等分数。

今天,小学四年级的学生已经会做分数四则运算,但古代人们对分数运算很感头痛,尤其是欧洲人。那时,欧洲一个最有学问的人说:“世界上有很多难做的事情,但是没有比算术四则再难的了。”由于我国古代灵活地运用算筹,避免了许多麻烦!

我国古代是这样表示分数的,如237,被除数在除数的上面,最上面留着放商数。如下左图:

除得的商数是3,余数是2,表示方法见上右图。后来,我国的分数表示法传到印度,又传到阿拉伯国家。

我国古代著名的《九章算术》一书中,分数已有完整的四则运算法则以及约分法则。这些法则在世界上是最早的而且和现在所用的几乎完全一样,这是我们可引以为自豪的。

“规矩”的传说和墨家几何学

我国勤劳智慧的祖先,真不愧是创造发明的能手。在计算技术方面他们发明了算筹;在几何学应用方面,他们也发明了构造简单而功效卓著的工具“规”与“矩”,从理论上研究了几何学。

“规”就是画圆的圆规,“矩”就是折成直角的曲尺。关于规矩的发明,古代流传着好几种不同的传说。

有一种传说是,认为规矩是春秋战国时期著名的工匠鲁班发明的。

还有一种传说是,规矩在比鲁班早一二千年的时候就已经发明出来了。大禹治水的时候,还用规矩作过测量工具哩!

传说归传说。战国时期,规与矩已成为民间很普通的工具,这是公认的。“规”、“矩”的应用是我国古代几何学的雏形,战国时期墨家学派对几何学理论的研究,开辟了东方形式逻辑的新纪元。

墨家学派的代表人物——墨翟,大约生活在公元前468~376年,他出身贫苦,曾当过制作器具的工匠,生活俭朴,但他胸怀大志,以“兴天下之利,除天下之害”为己任,并从生产实践中总结积累各种知识,如:光学、力学、逻辑学、几何学等,著有《墨经》一书,创建了墨家学派。《墨经》里的几何学知识被誉为世界上最古老的几何学。

墨家几何学问题学说,共19条,言简意赅,构成了一个相当丰富和严谨的理论体系。可与一个世纪后大家熟悉的欧几里得几何学相媲美。

两千多年前《墨经》里的几何概念和我们今天所学的基本相同。比如关于圆和平行线的定义,《墨经》里是这样说的:

“圆,一中同长也。”即是说,圆是有一个中心,中心到周界的距离处处相等的图形。

“平,同高也。”“平”就是平行线,平行线是同高的,相互间的距离处处相等。

墨家学派的科学成就是辉煌的,同时他们把知识用于实践及刻苦治学的精神也是我们学习的好榜样。

商 高

商高是我国古代周朝著名的数学家,是勾股定理的创始人。至于他的生卒年月无从考查。商高的数学成就主要是勾股定理与测量术。上期讲到的《墨经》是中国古代对几何学理论研究的经典,而商高对几何命题(勾股定理)的证明却是独树一帜的。

勾股定理是一条很古老的定理,几乎所有的数学古国,像埃及、巴比伦、希腊、印度都是很早就知道它了,小朋友,你们到初中后就能学到了。现在接触一点这方面的知识,有利于以后的学习。西方通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理,那是因为他们把这个定理的最早发现,归功于毕达哥拉斯。是不是他最早发现这个定理的呢?其实很难肯定。我国古代有部《周髀算经》,内容十分丰富,着重讲述了数学在天文学方面的应用。据这部著作记载,大约在公元前11世纪商高就有了关于勾股定理的知识,如是这样,就要比毕达哥拉斯早500年!

勾股定理的证明方法有500余种。其中商高的证明方法十分简捷。证明的基本思想是把复杂的平面几何问题,归结为研究平面图形的面积,然后通过对面积的代数运算而完成对几何问题的证明,是一种几何代数化的思想,这种思想方法很值得我们学习。

商高的另一成就是测量术,他首开了我国古代测量理论的先河。

准绳,是铅垂和水平方向的测量工具。绳下系一重物,受地心吸引,绳竖直下垂。使矩的一边与铅垂线吻合,另一边正好是水平方向。这样可以测量一条线是否是直线。

利用矩(就是折成直角的曲尺),可以测高、深等。

注:勾股定理的内容是直角三角形ABC的边长满足如下关系:

AC2+BC2=AB2(例如:勾为3厘米,股为4厘米,那么弦一定是5厘米,满足32+42=52)

田忌赛马的故事

现代有一门正迅速发展的数学分支——运筹学。而朴素的运筹学思想很早就产生了。田忌赛马的故事就是春秋战国时期运用筹划,特别是对策论思想的典型事例。充分反映了我们祖先的聪明才智。

“对策”是策略性的竞赛活动。运筹学是研究采用什么样的科学方法去寻求最优的策略使自己获得效益最大,损失最小的一门科学。我国古代虽然没有能够用明显的数量关系来进行描述,但有较为广泛的应用。“田忌赛马”的故事就是最成功的范例。

战国时期,齐威王和他的大将军田忌赛马,他们每个人都有上等、中等、下等三匹马,而田忌的三匹马都不如齐威王的三匹马。齐威王想,肯定稳操胜券。竞赛分三场进行,如果按同等级的马赛,田忌肯定是场场皆输,小朋友们都明白这个道理吧!当时,田忌的谋士,我国古代著名的军事家孙膑给田忌出了个主意:用下等马对齐威王的上等马,用上等马对齐威王的中等马,用中等马对齐威王的下等马。田忌依计而行,结果取得了一负二胜的成绩。

这个事例的基本思想是用一场的失败而换取了全盘胜利,是对策论中争取总体最优的范例。

读了这个故事以后,你觉得有意思吗?在日常生活中有很多事情可以用运筹学、对策论的思想去解决,如果你们碰到类似的问题不妨试一试。

我国的第一部数学著作——《九章算术》

《九章算术》是我国现存的一部最古老的数学著作,距今至少有1800多年了,作者不详,据数学史学家研究,这部著作是我国秦汉时期的数学科学家们历时一二百年之久的智慧结晶,汇集了当时数学研究的主要成就。在同一时期的世界其他国家和地区,很难找到一部数学著作像《九章算术》这样,包罗了如此丰富的深刻的数学知识,同时又与社会经济生活密切相关并得到广泛应用。它标志着我国古代完整的数学体系的形成,成为我国古代数学发展的一座重要的里程碑。美国著名的数学史学家说:“事实证明,中华民族是富有才华的,中国人是建立早期数学科学的先驱者。”

《九章算术》系统地叙述了分数约分、通分和四则运算的法则。像这样系统的叙述,印度在公元17世纪时才出现,欧洲就更迟了。

《九章算术》最早提出了正、负数(同学们到中学就可学到)的概念并系统地叙述了正负数的加减运算法则。欧洲到17世纪才有人提出负数概念。

《九章算术》提出的“盈不足术”,也是我国古代数学中的一项杰出创造,是一种解一般方程的方法。这种方法9世纪时传入阿拉伯。

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